Перелік питань до модульного контролю з курсу 

«Теорія ймовірностей та математична статистика» 

Модуль 1.

1. Основні поняття теорії ймовірностей. Елементи теорії сполук.

2. Класичне і статистичне означення ймовірності випадкової події.

3. Теоретико-множинний розгляд випадкових подій.

4. Імовірнісний простір. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

5. Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність появи хоча б однієї події.

6. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей залежних подій та додавання ймовірностей сумісних подій.

7. Формула повної ймовірності, Формула Байєса.

8. Послідовності випробувань. Формула Бернуллі. Найімовірніше число появи події в незалежних випробуваннях.

9. Локальна та інтегральна теореми Лапласа. Оцінка відхилення відносної частоти від ймовірності події.

10. Формула Пуассона.

11. Випадкові величини. Способи задання випадкових величин.

12. Інтегральна функція розподілу, її властивості.

13. Диференціальна функція розподілу, її властивості.

14. Математичне сподівання та його властивості.

15. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини, властивості дисперсії.

16. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин (біномний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассона ) та їх числові характеристики.

17. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин та їх числові характеристики (рівномірний розподіл, нормальний розподіл неперервної випадкової величини. Крива Гауса.)

18. Ймовірність влучення неперервної випадкової величини в заданий інтервал, правило трьох сігм.

Типові практичні завдання

1. Для сигналізації про аварію встановлені два незалежно працюючих сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор дорівнює 0,95, ф другий – 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

2. У першій скриньці є 2 білих і 10 чорних кульок, у другій – 8 білих і 4 чорних кульок. З кожної скриньки витягнули по кульці. Яка ймовірність того, що обидві кульки білого кольору?

3. Три стрільці незалежно один від одного стріляють в ціль. Ймовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,6, другим – 0,7, а третім – 0,75. Знайти ймовірність хоч би одного влучення в ціль, якщо кожен стрілець зробить по одному пострілу.

4. Студент знає 20 із 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає заплановані йому екзаменатором 3 питання.

5. В обчислювальній лабораторії є 6 автоматів і 4 напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання деякого розрахунку автомат не вийде з ладу дорівнює 0,95, а для напівавтомата – 0,8. Студент проводить розрахунок на навмання підібраній машині. Знайти ймовірність того, що до закінчення розрахунку машина не вийде з ладу.

6. Число вантажних автомашин, що проїжджають по трасі, на яких стоїть автозаправна, відноситься до числа легкових автомашин, що приїжджають по тій самій трасі, як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової автомашини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхали для заправки автомашини. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

7. Ймовірність проростання насіння дорівнює 0,9. Для досліду відбирають 6 насінин. Знайти ймовірність того, що проросте 5 насінин.

8. Ймовірність народження хлопчика 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених буде 50 хлопчиків.

9. Ймовірність появи події у кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше 75 раз і не більше 90 раз.

10. Пристрій складається із 1000 елементів, працюючих незалежно один від одного. Ймовірність відмови будь-якого елемента дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що відмовлять 3 елементи.

11. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини   - число випадань "герба” при двох підкиданнях монети.

12. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення величини  , яка задана законом розподілу

     1     2     5

   0,3  0,5  0,2

13. Випадкова величина задана диференціальною функцією

14. . Знайти інтегральну функцію розподілу  .

15. Випадкова величина задана диференціальною функцією

 

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування   прийме значення, що належить інтервалу (0,5;1).

16. Ймовірність появи події у кожному із 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхиляється від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02.

17. Відділ технічного контролю перевіряє партію із 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найімовірніше число стандартних деталей.

18. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини  , яка задана інтегральною функцією

 

19 Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють відповідно 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування   прийме значення з інтервалу (12;14).